PROPIEDADES DE LA ESPERANZA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR

ESPERANZA MATEMATICA

tiene las siguientes propiedades principales:

1. La esperanza matematica de una constante es igual a la misma

E (a) = a ; Siendo a una Cte

Ejemplo: a = { 3 }

E (a) = 3

2. Si A y B son variables aleatorias, entonces

E (A + B) = E(A) + E(B)

E(A) = 9 y E(B) = 3

A	1	2	3	4	5
P (A=a)	1/16	1/8	1/2	1/4	1/16

E(A)

B	1	2	3
P (B=b)	1/4	1/2	1/4

E(B)

E (A+B) = 9 + 3

12 = 12

Esto comprueba que la esperanza de la suma de dos variables aleatorios es igual a la suma de sus valores esperados

3. Si “ C ” es una constante y “ a ” una variable,

E(Ca) = c E(a) C = 3

a = 7

E(Ca) = 3 x 7

21 = 21

4. Si A e B son variables aleatorias independientes

E(A.B) = E(A) E(B) A= 9 B= 3

E (9.3) = 9 x 3

27 = 27

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

La varianza tiene las siguientes propiedades principales:

a) Var[X] = 0 ⇔ X es constante La varianza de una constante es cero, ya que la varianza mide la variabilidad y es de saber que una constante no tiene variación por lo tanto es cero

Ej:

X = 3 Cte

Var [3] = 0

b) a constante ⇒ Var[aX] = a² Var[X] La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable. Ejemplo:

a = 9 Cte Var (X) = 5 Var (a . X) = 405

Var (9x5) = 81 x Var (X)

Var (9x5) = 81 x 5

405 = 405

c) Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

Var (X) = 2 Var (Y) = 3

Var (X + Y) = 2 + 3

5 = 5

PROPIEDADES DE LA DESVIACION ESTANDAR

1 La desviación Estandar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales

Calcular la desviación estandar de la distribución:

9, 9, 9, 9, 9

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación Estandar no varía.

9, 3

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación Estandar queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño: