PROPIEDADES DE LA ESPERANZA, VARIANZA Y DESVIACION ESTANDAR

ESPERANZA MATEMATICA 

tiene las siguientes propiedades principales:

1. La esperanza matematica de una constante es igual a la misma

           E (a) = a                     ;              Siendo a una Cte

Ejemplo:          a = { 3 }

         E (a) = 3

2. Si  A  y  B  son variables aleatorias, entonces
     

             E (A + B) = E(A) + E(B)

E(A) = 9           y              E(B) = 3

A	1	2	3	4	5
P (A=a)	1/16	1/8	1/2	1/4	1/16

                          E(A)

B	1	2	3
P (B=b)	1/4	1/2	1/4

                          E(B)

                          E (A+B) = 9 + 3

                             12   =  12

Esto comprueba que la esperanza de la suma de dos variables aleatorios es igual a la suma de sus valores esperados 

3. Si “ C ” es una constante y “ a ” una variable, 
   

                                  E(Ca) = c E(a)                 C = 3

                                                                           a = 7

                                E(Ca) = 3 x 7

                                 21     =   21

                                   

4. Si A e B son variables aleatorias independientes 
    

                              E(A.B) = E(A) E(B)             A= 9        B= 3

                              E (9.3) =    9  x  3

                                   27   =       27

PROPIEDADES DE LA VARIANZA

La varianza tiene las siguientes propiedades principales:

      a)      Var[X] = 0 ⇔ X es constante    La varianza de una constante es cero, ya que la varianza mide la variabilidad y es de saber que una constante no tiene variación por lo tanto es cero

       Ej:

                    X = 3 Cte

          Var [3] = 0

             

     b)     a constante ⇒ Var[aX] = a² Var[X]  La varianza del producto de una constante por una variable, es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable. Ejemplo:

                  a = 9  Cte                Var (X) = 5         Var (a . X) =    405

              

                  Var (9x5)          =       81 x Var (X)

                  Var (9x5)          =       81 x 5

                     405               =         405

          

     c)        Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)  La varianza de la suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.

                               Var (X) = 2               Var (Y) = 3

                                    Var (X + Y) = 2 + 3

                                          5           =    5

          

PROPIEDADES DE LA DESVIACION ESTANDAR

1 La desviación Estandar será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales

Calcular la desviación estandar de la distribución:

9, 9, 9, 9, 9

¯

  

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación Estandar no varía.

           9, 3

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación Estandar queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

Observaciones sobre la desviación estándar

1 La desviación estándar, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación estándar.

3 Cuanta más pequeña sea la desviación estándar mayor será la concentración de datos alrededor de la media.

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