ESPERANZA MATEMATICA
tiene las
siguientes propiedades principales:
1. La esperanza matematica de una constante es igual a la misma
E (a) = a ; Siendo a una Cte
Ejemplo: a = { 3 }
E (a) = 3
2. Si A y B son variables aleatorias, entonces
E (A + B) = E(A) + E(B)
E(A) = 9 y E(B) = 3
| A |
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
P
(A=a)
|
1/16
|
1/8
|
1/2
|
1/4
|
1/16
|
E(A)
B
|
1
|
2
|
3
|
P
(B=b)
|
1/4
|
1/2
|
1/4
|
E(B)
E (A+B) = 9 + 3
12 = 12
Esto comprueba que la esperanza de la suma de dos variables aleatorios es igual a la suma de sus valores esperados
3. Si “ C ”
es una constante y “ a ” una variable,
E(Ca) = c E(a) C = 3
a = 7
E(Ca) = 3 x 7
21 = 21
4. Si A e B son
variables aleatorias independientes
E(A.B) = E(A)
E(B) A= 9 B= 3
E (9.3) = 9 x 3
27 = 27
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
La varianza tiene las siguientes propiedades principales:
a)
Var[X] = 0 ⇔ X es constante La varianza de una constante es cero, ya
que la varianza mide la variabilidad y es de saber que una constante no tiene variación
por lo tanto es cero
Ej:
X
= 3 Cte
Var [3] = 0
b) a
constante ⇒ Var[aX] = a2 Var[X] La varianza del producto de una constante por
una variable, es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la
variable. Ejemplo:
a =
9 Cte Var (X) = 5 Var (a . X) = 405
Var
(9x5) = 81
x Var (X)
Var (9x5) =
81 x 5
405 =
405
c)
Var (X +
Y) = Var (X) + Var (Y) La varianza de la
suma de dos variables independientes es igual a la suma de las varianzas.
Var (X) = 2
Var (Y) = 3
Var (X + Y) = 2 + 3
5 =
5
PROPIEDADES DE LA DESVIACION ESTANDAR
Calcular la desviación estandar de la distribución:
9, 9, 9, 9, 9
¯
2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación Estandar no varía.
9, 3
3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación Estandar queda multiplicada por dicho número.
4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones estándar se puede calcular la desviación estándar total.
Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:
Observaciones sobre la desviación estándar
1 La desviación estándar, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.
2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación estándar.
3 Cuanta más pequeña sea la desviación estándar mayor será la concentración de datos alrededor de la media.
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